Математикадан 47-ші халықаралық олимпиада, 2006 жыл, Любляна

$I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі. Үшбұрыш ішінен $\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB$ болатындай $P$ алынған. Дәлелдеңіздер: $AP\ge AI$ екенін және теңдік жағдайы орындалады тек және тек сонда ғана, егер $P$ нүктесі $I$ нүктесімен беттессе.

Комментарий/решение

$$\angle BAC=x, \angle CBA = y, \angle ACB=z$$

$$\angle PBA+\angle PCA+\angle PBC+\angle PCB=y+z$$

$$\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \angle PBC+\angle PCB=\frac{z+y}{2}=\frac{180^o-x}{2}=90^o-\frac{x}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \angle BPC= \angle BIC , (P\in \omega_{BCI})$$

$\omega_{BCI}$ - окружность,вписанная в треугольник $BCI$

$$\smile{BC}=2BM \Leftrightarrow M=AI \cap \Omega _{ABC}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow AP+PM\geq AM= AI+PM\Rightarrow AP\geq AI$$

$$P\in AI\Leftrightarrow P=I \Rightarrow AP=AI$$