Математикадан аудандық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс
Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27
Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.
Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.
Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.
b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,
осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз. b_10 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,
a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан
S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=
= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250
Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс
Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27
Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.
Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.
Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.
b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,
осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз.b_0 үшін артық шешімнің саны үшеу ,ендеше
с10 = 66 – 3 =63. b_(11,) b_12,b_13 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,
a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан
S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=
= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250
Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс
Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27
Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.
Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.
Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.
b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,
осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз.b_0 үшін артық шешімнің саны үшеу ,ендеше
с10 = 66 – 3 =63. b_(11,) b_12,b_13 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,
a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан
S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=
= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250
Районная олимпиада , 2006 – 2007 учебный год, 11 класс
Номер автобусного билета состоит из шести цифр (первые цифры могут быть нулями) . Билет называется счастливым, если сумма последних трех цифр равна сумме последних трех. Докажите, что сумма номеров всех счастливых билетов делится на 13.
Шешуі: Алғашқы үш цифрының қосындысымен соңғы үш цифрының қосындысы n - ге тең болатын барлық билеттердің саны an болсын. Олай болса, бақытты билеттердің саны: S = a_(0 ) 〖+ a〗_1+a_2+⋯+a_27
Осыдан a_0 = a_27 , a_1 = a_26,…,a_13 = a_14 екeндігін аңғаруға болады.
Ендеше, S = 2( a_(0 ) 〖+ a〗_1+⋯+a_13) b_n – x + y + z = n теңдеуінің бүтін оң шешімдерінің саны делік, демек b_n = c_(n+2)^2 = ((n+2)(n+1))/2 болады.
Бұдан , b_0 = 1, b_1=3,b_2=6,b_3=10,b_4=15,〖 b〗_5=21,〖 b〗_6=28,b_7=36,b_8=45,b_9=55,b_10=66,b_11=78,b_12=91,b_13=105.
b_10=66 , 10>9 яғни x,y,z айнымалылары тек 0 – ден 9-ға дейінгі мәндерді қабылдайтындықтан b_n – нің осы айнымалылардың қабылдайтын мәндеріне сәйкес емес артық шешімдерінің санын қарастырмаймыз. Сонымен, 10≤n≤13 болғандағы b_n – нің бүтін оң шешімдерінің саны артық шешімдер болып табылады. Енді x, y, z – тің 0 – ден 9 – ға дейінгі қабылдайтын мәндеріне сәйкес бүтін оң шешімдерінің санын c_(n ) деп белгілесек,
осыдан c_0= b_0,c_1=b_1,…,c_9= b_9. c_10,c_11,c_12,c_13 табу үшін b_n – нің табылған бүтін оң шешімдерінің санынан артық бүтін оң шешімдерінің санын азайтамыз.b_0 үшін артық шешімнің саны үшеу ,ендеше
с10 = 66 – 3 =63. b_(11,) b_12,b_13 – үшін сәйкесінше 9,18,30 артық шешім бар. Демек, с_11=69,c_12=73,c_13=75,a_n= c_n^2 болатындығын байқауға болады. Бұдан a_0=1,a_1=9,a_2=36, a_3=100,a_4=225,a_5=441,a_6=784,a_7=1296,a_8=2025,a_9=3025, a_10=3969, a_11=4761,a_13=5625,
a_0=1 болғанда бір бақытты билеттің цифрлары тек 0 – ден тұратындықтан
S = 2( 9+36+100+225+441+784+1296+2025+3025+3969+4761+5329+5625)=
= 2∙27625 =55250. 55250 ∶ 13 = 4250
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.