Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 11 класс

Из точки $C$ проведены касательные $CA$ и $CB$ к окружности $O$. Из произвольной точки $N$ окружности опущены перпендикуляры $ND$, $NE$ и $NF$ соответственно на прямые $AB$, $CA$ и $CB$. Докажите, что $ND=\sqrt{NE\cdot NF}$.

Комментарий/решение

Четырехугольники $BDND,EDND$ вписанные в окружность , так как $ND,NE,NF$ перпендикулярные прямые к соответственным сторонам , так как $BC$ касательная к окружности , то $\angle FBN = \angle BAN$

Значит $\angle NFD=90^{\circ} + \dfrac{ABC}{2}-\angle FBN$ и $\angle NDE= 90^{\circ} + \dfrac{ABC}{2} - \angle BAN = 90^{\circ}+\dfrac{ABC}{2} - \angle FBN$

Значит

$\angle NDE = \angle NFD$

$\angle DNE= \angle FND$

$\angle NED = \angle FDN$

Из подобия $\Delta FDN, \Delta EDN$ получим $\dfrac{NE}{ND} = \dfrac{ND}{FN}$ , откуда $ND=\sqrt{NE \cdot NF}$