Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто
Комментарий/решение:
b2⋅c2ab+ac+a2⋅c2bc+ab+a2⋅b2ac+bc≥32
b⋅c=x,a⋅c=y,a⋅b=z⇒
⇒x2z+y+y2x+z+z2x+y≥32
x2z+y+y2x+z+z2x+y=x(x+y+z−y−z)z+y+y(y+z+x−z−x)x+z+z(z+x+y−x−y)x+y=
=(x+y+z)(xy+z+yx+z+zx+y)−(x+y+z)=32(x+y+z)−(x+y+z)=x+y+z2≥32
abc=1 болғандықтан теңсіздіктің сол жағын (abc)2-қа көбейтеміз:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=(abc)2a3(b+c)+(abc)2b3(c+a)+(abc)2c3(a+b)=(bc)2a(b+c)+(ac)2b(c+a)+(ab)2c(a+b)=(bc)2ab+ac+(ac)2bc+ba+(ab)2ca+cb≥(ab+bc+ac)22(ab+bc+ac)=ab+bc+ac2. Енді ab+bc+ac2≥32 теңсіздігін дәлелдейміз. Коши теңсіздігін қолдансақ: ab+bc+ac≥3⋅√ab⋅bc⋅ca=3abc=3⋅1=3.
По AM-GM имеем три неравенства:
1a3(b+c)+a(b+c)4≥1a
1b3(a+c)+b(a+c)4≥1b
1c3(a+b)+c(a+b)4≥1c
Складывая их вместе и учитывая, что ab=1c и т.д. получаем
1a3(b+c)+1c3(a+b)+1b3(b+c)≥12(1a+1b+1c)
При этом по неравенству GM-HM, имеем
1=3√abc≥31a+1b+1c⟹1a+1b+1c≥3
Отсюда и выходит требуемое. Случай равенства достигает тогда и только тогда, когда a=b=c=1.
По КБШ:
(1a3(b+c)+1b3(a+c)+1c3(a+b))(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)) ≥ (1a+1b+1c)^2
(1a+1b+1c)^2 ≥ 3(ab+bc+ca) тк 1a=bc и ab+bc+ca ≥ 3
(1a3(b+c)+1b3(a+c)+1c3(a+b)) ≥ 3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca) что доказывает.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.