Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 36-шы халықаралық олимпиада, 1995 жыл, Торонто


abc=1 болатындай a, b, c — оң сандары берілсін. Дәлелдеңіздер: 1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)32.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 6 месяца назад #

b2c2ab+ac+a2c2bc+ab+a2b2ac+bc32

bc=x,ac=y,ab=z

x2z+y+y2x+z+z2x+y32

x2z+y+y2x+z+z2x+y=x(x+y+zyz)z+y+y(y+z+xzx)x+z+z(z+x+yxy)x+y=

=(x+y+z)(xy+z+yx+z+zx+y)(x+y+z)=32(x+y+z)(x+y+z)=x+y+z232

пред. Правка 3   4
4 года 2 месяца назад #

Пусть a=1x,b=1y,c=1zxyz=1. Тогда (!)x2y+z+y2z+x+z2x+y32

Из КБШ и AM-GM :x2y+z+y2z+x+z2x+y(x+y+z)22(x+y+z)=x+y+z23(xyz)132=32.

  1
4 года 2 месяца назад #

abc=1 болғандықтан теңсіздіктің сол жағын (abc)2-қа көбейтеміз:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=(abc)2a3(b+c)+(abc)2b3(c+a)+(abc)2c3(a+b)=(bc)2a(b+c)+(ac)2b(c+a)+(ab)2c(a+b)=(bc)2ab+ac+(ac)2bc+ba+(ab)2ca+cb(ab+bc+ac)22(ab+bc+ac)=ab+bc+ac2. Енді ab+bc+ac232 теңсіздігін дәлелдейміз. Коши теңсіздігін қолдансақ: ab+bc+ac3abbcca=3abc=31=3.

  10
1 года 4 месяца назад #

По AM-GM имеем три неравенства:

1a3(b+c)+a(b+c)41a

1b3(a+c)+b(a+c)41b

1c3(a+b)+c(a+b)41c

Складывая их вместе и учитывая, что ab=1c и т.д. получаем

1a3(b+c)+1c3(a+b)+1b3(b+c)12(1a+1b+1c)

При этом по неравенству GM-HM, имеем

1=3abc31a+1b+1c1a+1b+1c3

Отсюда и выходит требуемое. Случай равенства достигает тогда и только тогда, когда a=b=c=1.

  4
1 года 2 месяца назад #

По КБШ:

(1a3(b+c)+1b3(a+c)+1c3(a+b))(a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)) (1a+1b+1c)^2

(1a+1b+1c)^2 3(ab+bc+ca) тк 1a=bc и ab+bc+ca 3

(1a3(b+c)+1b3(a+c)+1c3(a+b)) 3(ab+bc+ca)2(ab+bc+ca) что доказывает.

пред. Правка 3   1
1 года 2 месяца назад #

Прекрасное решение.