Математикадан 34-ші халықаралық олимпиада, 1993 жыл, Стамбул
N={1,2,3,…} болсын. Кез келген n∈N үшін f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n және кез келген n∈N үшін f(n)<f(n+1) болатын f:N→N функцияның кездесетінін немесе кездеспейтінін анықтаңыз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Да.
Пусть Ф это ряд фибоначи без первого элемента, то есть Ф={1, 2, 3, 5, 8 ...}. Пусть фунция f(xi)=x(i+1),для любого x_n, где x_n это элемент последовательности фибоначи номер n по счету сначала. Тогда
f(f(x_i)) = f(x_i) + x_i => f(x_(i+1)) = x_(i+1) + x_i = > x_(i+2) = x_(i+1) + x_i .
Что очевидно верно. Для значений переменной f(n) котороые не входят в множество ряда фибоначи. Вывод самой функции должен не быть равен элементу из множества ряда Фибоначи, тогда
f(f(n)) = f(n) + n => f(k) = k + n
Ответ: да. Посмотрите первую строчку. Но все таки решение неверною. Я заметил ошибку только после того как выложил его.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.