Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2013 год

Пусть даны две последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ такие, что ${{x}_{1}}=1$, ${{x}_{2}}=3$, ${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+2{{x}_{n-1}}$, ${{y}_{1}}=7$, ${{y}_{2}}=17$, ${{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+3{{y}_{n-1}}$, $n\ge 2$. Докажите, что последовательности $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ не имеют общих членов, т.е. для любых натуральных чисел $m$, $n$ выполнено соотношение ${{x}_{n}}\ne {{y}_{m}}$.

Комментарий/решение

$$x_{n+1}-x_n-2x_{n-1}=0, \quad x_1=1,x_2=3$$

$$x_{n-1+k}=a^k\Rightarrow a^2-a-2=0$$

$$x_{n-1}=C_12^n+C_2(-1)^n$$

$$\begin{cases} x_1=4C_1+C_2=1 \\ x_2=8C_1-C_2=3 \end{cases}\Rightarrow x_{n-1}=\frac{1}{3}(2^n-(-1)^n)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x_n=\frac{1}{3}(2^{n+1}+(-1)^n)$$

$$y_{n+1}-2y_n-3y_{n-1}=0 , \quad y_1=7 , y_2=17$$

$$y_{n-1+k}=b^k\Rightarrow b^2-2b-3=0$$

$$b_1=3 \quad b_2=-1$$

$$y_{n-1}=C_13^n+C_2(-1)^n$$

$$y_1=9C_1+C_2=7$$

$$y_2=27C_1-C_2=17$$

$$y_{n-1}=\frac{2}{3}\cdot 3^n+(-1)^n \Rightarrow y_n=\frac{2}{3}\cdot 3^{n+1}+(-1)^{n+1}$$

$$x_n=y_m\Rightarrow \frac{1}{3}(2^{n+1}+(-1)^n)=\frac{2}{3}\cdot 3^{m+1}+(-1)^{m+1}$$

$$\forall n,m \in N: \frac{2^{n+1}-2\cdot 3^{m+1}}{3}\ne(-1)^{m+1}-\frac{(-1)^n}{3}$$