Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2009 год

Действительные числа $a$ и $b$ таковы, что $b\ne 0$ и ${{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+10b$. Докажите, что $2{{a}^{2}}+10b=10a+{{b}^{2}}+ab$.

Комментарий/решение

$(a+b)^2=a^2+10b$, $a^2+2ab+b^2=a^2+10b$; $b\ne 0$ Тогда $2a+b=10$

$a^2+(a^2+10b)=a^2+(a+b)^2$, $2a^2+10b=2a^2+2ab+b^2=a(2a+b)+ab+b^2=10a+b^2+ab$

a²+2ab+b²=a²+10b

2ab+b²=10b

2ab+b²-10b=0

b(2a+b-10)=0

2a+b-10=0

2a+b=10

2a²+10b=10a+b²+ab

2a²+10b-10a-b²-ab=0

(a-b)(a+b)+a(a-b)-10(a-b)=0

(a-b)(a+b+a-10)=0

(a-b)(2a+b-10)=0

(a-b)(10-10)=0

0=0