Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2007 год

Боковые стороны трапеции относятся как 1:2, а сумма углов при большем основании равна $120{}^\circ $. Найдите углы данной трапеции.

Комментарий/решение

Ответ: $90,90,150,30$

Решение:Пусть $ABCD$-трапеция, и $BC||AD$; $AD>BC$.Положим, что $AB:CD=1:2$, то есть$AB=x, CD=2x$. Сделаем дополнительное построение, проведем $BE||CD$. Тогда $EBCD$-параллелограм, и $BE=CD=2x$; кроме того по условию $\angle A+\angle E=\angle A+\angle D=120$, то есть $\angle ABE=60$. Применим теорему косинусов к треугольнику $ABE$. $$x^2+(2x)^2-2*x*2x*cos 60=AE^2$$,откуда следует ,что$AE=x\sqrt3$; Применим теорему синусов к треугольнику $ABE$, откуда $sin\angle A=1$,то есть$\angle A=90$; $\angle B=180-90=90$; $\angle D=120-90=30$; $\angle C=150$