Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2005 год

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$. Оказалось, что отрезок $AK$ пересекает медиану $BD$ в точке $E$ так, что $AE=BC$. Докажите, что $BK=KE$.

Комментарий/решение

1) Проведем линию из точки $E$, параллельно отрезку $BC$

2)$EM\parallel BC\Rightarrow \angle DEM=\angle EBK$ (как односторонние углы при параллельных прямых)

3) $\angle AED=\angle BEK$ как вертикальные

4)Нужно показать, что $\angle AED=\angle DEM$. Тогда получим , что $\angle EBK=\angle BEK$

5)$\triangle EDM\sim\triangle BDC$ (подобие следует «по трём углам», $\angle DEM=\angle EBK, \angle EMD=\angle BCD$ как односторонние углы при параллельных прямых, $\angle EDM-$ общий)

6) Из $[5]$ следует, что $\dfrac{EM}{DM}=\dfrac{BC}{DC}$

7) По условию, $AD=DC;AE=BC\Rightarrow \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BC}{DC}$

8) Из $[6,7]$ следует, что $\dfrac{EM}{DM}=\dfrac{AE}{AD}$

9)По признаку биссектрисы, если выполняется соотношение $[8]$, то $ED-$ биссектриса

10)Утверждение $[9]$ доказало, что $[4]$ верно

11)Так как $\angle EBK=\angle BEK$, то $\triangle BEK-$ равнобедренный, и $BK=KE$