Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл
Натурал n санын ерекше деп атаймыз, егер n=a3+2b3c3+2d3 теңдігін қанағаттандыратын a, b, c және d натурал сандары табылса. Дәлелдеңіздер:
a) ерекше сандар шексіз көп табылатынын;
b) 2014 саны ерекше емес екендігі.
посмотреть в олимпиаде
a) ерекше сандар шексіз көп табылатынын;
b) 2014 саны ерекше емес екендігі.
Комментарий/решение:
Решение:
a) Подставляя a=k∗c и b=k∗d где k∈N
У нас получится a3+2∗b3c3+2∗d3=k3
b) Предположим что 2014 специальное число
Тогда 2014∗(c3+2∗d3)=a3+2∗b3
Рассмотрим (mod19) ⇒ a3≡±1,±7,±8,0
a3+2∗b3⋮19 ⟺ a,b⋮19
Подставляя a=19∗a1 и b=19∗b1
У нас получится 2014∗(c3+2∗d3)=193∗(a31+2∗b31)
⇒ c3+2∗d3⋮19 ⇒ c=19∗c1 d=19∗d1
⇒ 2014∗(c31+2∗d31)=a31+2∗b31
И так далее методом бесконечного спуска находим a,b,c,d=0 что противоречит условию
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.