Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл


Натурал n санын ерекше деп атаймыз, егер n=a3+2b3c3+2d3 теңдігін қанағаттандыратын a, b, c және d натурал сандары табылса. Дәлелдеңіздер:
a) ерекше сандар шексіз көп табылатынын;
b) 2014 саны ерекше емес екендігі.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 11 месяца назад #

Решение:

a) Подставляя a=kc и b=kd где kN

У нас получится a3+2b3c3+2d3=k3

b) Предположим что 2014 специальное число

Тогда 2014(c3+2d3)=a3+2b3

Рассмотрим (mod19) a3±1,±7,±8,0

a3+2b319 a,b19

Подставляя a=19a1 и b=19b1

У нас получится 2014(c3+2d3)=193(a31+2b31)

c3+2d319 c=19c1 d=19d1

2014(c31+2d31)=a31+2b31

И так далее методом бесконечного спуска находим a,b,c,d=0 что противоречит условию