Processing math: 48%

Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл


Натурал n санын ерекше деп атаймыз, егер n=a3+2b3c3+2d3 теңдігін қанағаттандыратын a, b, c және d натурал сандары табылса. Дәлелдеңіздер:
a) ерекше сандар шексіз көп табылатынын;
b) 2014 саны ерекше емес екендігі.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 11 месяца назад #

Решение:

a) Подставляя a=kc и b=kd где kN

У нас получится a3+2b3c3+2d3=k3

b) Предположим что 2014 специальное число

Тогда 2014(c3+2d3)=a3+2b3

Рассмотрим \pmod {19} \Rightarrow a^3 \equiv \pm 1 , \pm 7,\pm 8,0

a^3+2*b^3 \vdots 19 \Longleftrightarrow a,b \vdots 19

Подставляя a=19*a_{1} и b=19*b_{1}

У нас получится 2014*(c^3+2*d^3)=19^{3}*(a_{1}^3 + 2* b_{1}^3)

\Rightarrow c^3+2*d^3 \vdots 19 \Rightarrow c=19*c_{1} d=19*d_{1}

\Rightarrow 2014*(c_{1}^3+2*d_{1}^3)=a_{1}^3+2*b_{1}^3

И так далее методом бесконечного спуска находим a,b,c,d=0 что противоречит условию