28-я Балканская математическая олимпиадаЯссы, Румыния, 2011 год

Даны действительные числа $x, y$ и $z$ такие, что выполняется условие: $x+y+z=0$, показать что $$ \frac {x(x+2)}{2x^2+1}+\frac {y(y+2)}{2y^2+1}+\frac{z(z+2)}{2z^2+1}\ge 0. $$ При каких $x,y,z$ выполняется равенство?

Комментарий/решение

$$\forall x+y+z=0: \qquad \frac{x^2+2x}{2x^2+1}+\frac{y^2+2y}{2y^2+1}+\frac{z^2+2z}{2z^2+1}\geq 0\qquad (1)$$

$$\frac{x^2+2x}{2x^2+1}= \frac{2x^2+4x}{2(2x^2+1)}= \frac{(4x^2+4x+1)-(2x^2+1)}{2(2x^2+1)}= \frac{(2x+1)^2}{2(2x^2+1)}-\frac{1}{2}$$

$$ (1) \Leftrightarrow \frac{(2x+1)^2}{2x^2+1}+ \frac{(2y+1)^2}{2y^2+1}+ \frac{(2z+1)^2}{2z^2+1}\geq 3$$

$$ x+y+z=0 \Leftrightarrow x=-(y+z) \Rightarrow x^2=(y+z)^2 \Rightarrow 2x^2=2(y+z)^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow6x^2=4x^2+2(y+z)^2\Rightarrow $$

$$\Rightarrow6x^2=4x^2+2(y^2+\underbrace{2yz}+z^2) \leq 4x^2+ 2(y^2+\underbrace{y^2+z^2}+z^2)=4(x^2+y^2+z^2)$$

$$ \frac{(2x+1)^2}{2x^2+1}+ \frac{(2y+1)^2}{2y^2+1}+ \frac{(2z+1)^2}{2z^2+1}=$$

$$= \frac{3(2x+1)^2}{\underbrace{6x^2}+3}+ \frac{3(2y+1)^2}{\underbrace{6y^2}+3}+ \frac{3(2z+1)^2}{\underbrace{6z^2}+3}\geq $$

$$ \geq \frac{3(2x+1)^2}{\underbrace{4(x^2+y^2+z^2)}+3}+ \frac{3(2y+1)^2}{\underbrace{4(x^2+y^2+z^2)}+3}+ \frac{3(2z+1)^2}{\underbrace{4(x^2+y^2+z^2)}+3}=$$

$$=\frac{3}{\underbrace{4(x^2+y^2+z^2)}+3}\Bigg((2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2 \Bigg)=$$

$$=\frac{3}{\underbrace{4(x^2+y^2+z^2)}+3}\Bigg(4(x^2+y^2+z^2)+ 4( \underbrace{x+y+z}_{=0})+3\Bigg)=$$

$$=\frac{3}{\underbrace{4(x^2+y^2+z^2)}+3}\cdot(4(x^2+y^2+z^2)+3)=3$$