Математикадан 22-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2005 жыл
Комментарий/решение:
→x=(|a−b|√b,|b−c|√c,|c−a|√a),→y=(√b,√c,√a)
∀x,y∈R3:|⟨→x,→y⟩|≤|→x|⋅|→y|(1)
⟨→x,→y⟩=|a−b|√b⋅√b+|b−c|√c⋅√c+|c−a|√a⋅√a=|a−b|+|b−c|+|c−a|
|→x|=√(|a−b|√b)2+(|b−c|√c)2+(|c−a|√a)2=√a2b+b2c+c2a−(a+b+c)
|→y|=√a+b+c
(1)⇒√a2b+b2c+c2a−(a+b+c)⋅√a+b+c≥|a−b|+|b−c|+|c−a|
⇒(a2b+b2c+c2a−(a+b+c))⋅(a+b+c)≥(|a−b|+|b−c|+|c−a|)2
⇒a2b+b2c+c2a≥a+b+c+(|a−b|+|b−c|+|c−a|)2a+b+c
|b−c|+|c−a|≥|b−a|
⇒a2b+b2c+c2a≥a+b+c+(|a−b|+|b−c|+|c−a|)2a+b+c≥a+b+c+4(|a−b|)2a+b+c
Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы →x и →у коллинеарны: |a−b|b=|b−c|c=|c−a|a=λ
1){a≥b≥cb≥c≥ac≥a≥b⇒ca=(ab)−1(bc)−1⇔11−λ2=1+λ⇒λ=0
2)c≥b≥a⇒ca=(ab)−1(bc)−1⇔1(1−λ)2=1+λ⇒λ=0
3)a≥c≥b⇒ca=(ab)−1(bc)−1⇔1(1+λ)2=1+λ⇒λ=0
4)b≥a≥c⇒ca=(ab)−1(bc)−1⇔11−λ2=1−λ⇒λ1=0λ2=1±√52
Равенство достигается в двух случаях: 1)a=b=c
2)c=a=εb,ε=√5−12
По Тождеству Лагранжа мы имеем
a2b+b2c+c2a−(a+b+c)=(ac−b2)2bc+(bc−a2)2ab+(ab−c2)2aca+b+c
Нам достаточно доказать (ac−b2)2bc+(bc−a2)2ab+(ab−c2)2ac≥4(a−b)2
Но (ab−c2)2ac≥0 и (ac−b2)2bc+(bc−a2)2ab≥(ac−b2−bc+a2)2b(a+c)=(a−b)2(a+b+c)2b(a+c)
По AM-GM мы имеем b(a+c)≤(a+b+c)24⟹(a−b)2(a+b+c)2b(a+c)≥4(a−b)2
Следовательно мы имеем a2b+b2c+c2a−(a+b+c)≥4(a−b)2(a+b+c)
(!)⠀a2b+b2c+c2a≥a+b+c+4(a−b)2a+b+c⟺ ⟺⠀(!)⠀(a2b−2a+b)+(b2c−2b+c)+(c2a−2c+a)≥4(a−b)2a+b+c⟺ ⟺⠀(!)⠀(a+b+c)((a−b)2b+(c−b)2c+(a−c)2a)≥(a−b+c−b+a−c)=(2a−2b)2=4(a−b)2◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.