Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 22-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2005 жыл


Нақты оң a,b,c сандары берілсін. a2b+b2c+c2aa+b+c+4(ab)2a+b+c теңсіздігін дәлелдеңіздер. a,b,c қандай мәндерінде теңдік жағдайы орындалады?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   3
6 года назад #

x=(|ab|b,|bc|c,|ca|a),y=(b,c,a)

x,yR3:|x,y||x||y|(1)

x,y=|ab|bb+|bc|cc+|ca|aa=|ab|+|bc|+|ca|

|x|=(|ab|b)2+(|bc|c)2+(|ca|a)2=a2b+b2c+c2a(a+b+c)

|y|=a+b+c

(1)a2b+b2c+c2a(a+b+c)a+b+c|ab|+|bc|+|ca|

(a2b+b2c+c2a(a+b+c))(a+b+c)(|ab|+|bc|+|ca|)2

a2b+b2c+c2aa+b+c+(|ab|+|bc|+|ca|)2a+b+c

|bc|+|ca||ba|

a2b+b2c+c2aa+b+c+(|ab|+|bc|+|ca|)2a+b+ca+b+c+4(|ab|)2a+b+c

Причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и у коллинеарны: |ab|b=|bc|c=|ca|a=λ

1){abcbcacabca=(ab)1(bc)111λ2=1+λλ=0

2)cbaca=(ab)1(bc)11(1λ)2=1+λλ=0

3)acbca=(ab)1(bc)11(1+λ)2=1+λλ=0

4)bacca=(ab)1(bc)111λ2=1λλ1=0λ2=1±52

Равенство достигается в двух случаях: 1)a=b=c

2)c=a=εb,ε=512

  2
3 года 11 месяца назад #

По Тождеству Лагранжа мы имеем

a2b+b2c+c2a(a+b+c)=(acb2)2bc+(bca2)2ab+(abc2)2aca+b+c

Нам достаточно доказать (acb2)2bc+(bca2)2ab+(abc2)2ac4(ab)2

Но (abc2)2ac0 и (acb2)2bc+(bca2)2ab(acb2bc+a2)2b(a+c)=(ab)2(a+b+c)2b(a+c)

По AM-GM мы имеем b(a+c)(a+b+c)24(ab)2(a+b+c)2b(a+c)4(ab)2

Следовательно мы имеем a2b+b2c+c2a(a+b+c)4(ab)2(a+b+c)

  2
13 дней 20 часов назад #

(!)a2b+b2c+c2aa+b+c+4(ab)2a+b+c (!)(a2b2a+b)+(b2c2b+c)+(c2a2c+a)4(ab)2a+b+c (!)(a+b+c)((ab)2b+(cb)2c+(ac)2a)(ab+cb+ac)=(2a2b)2=4(ab)2