Математикадан 22-ші Балкан олимпиадасы, Яссы, Румыния, 2005 жыл

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына іштей сзылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде жанайды. $ACB$ және $ABC$ бұрыштарының биссектрисалары $DE$ түзуін сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қисын және $Z$ нүктесі $BC$ қабырғасының ортасы болсын. Дәлелдеңіздер: $XYZ$ үшбұрышы теңқабырғалы болады тек және тек сонда ғана егер $\angle A = 60 ^\circ$ болса.

Комментарий/решение

$Лемма$: В треугольнике $ABC$

Пусть $D,E$ - точки касания вписанной окружности с $AB,AC$ также пусть $CI \cap DE=X$ тогда $\angle CXB = 90$

$Д-во$: = $\angle BIX= 180-\angle BIC = 90-A/2$

$\angle EDB =\angle XDB =180 - (180-A)/2 = 90+A/2$

Поэтому $BDXI$ вписанный четырехугольник

Откуда $\angle BXC = \angle BXI = \angle IDB = 90$

$Решение$:Используя лемму получим $\angle CYB = \angle CXB = 90$

откуда $BXYC$ вписанный

Теперь $Z$ центр окружности описанной $CBCY$ откуда $ZC=ZB$

,$YZ=ZX$

Теперь углами $\angle CXY+\angle BYX = 60$ также

$\angle ZXC+\angle ZYB = B/2+C/2$

поэтому $\angle YXZ +\angle ZYX = B+X = 120$

откуда $\angle YZX = 60$ используя это с $YZ=ZX$ означает что $XYZ$ равносторонний