Processing math: 49%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2000 год


Пусть ABC — треугольник. Пусть M и N — точки пересечения медианы и биссектрисы соответственно, опущенных из вершины A на сторону BC. Пусть Q и P — точки в которых перпендикуляр из вершины Nк прямой NA пересекается с MAи BA соответственно, и O — точка в которой перпендикуляр из точки P к BA пересекается с AN. Докажите, что прямая QO перпендикулярна BC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
1 года 1 месяца назад #

Γ окружность описанная вокруг ABC

RAC, ORAC( По прямой Симпсона P,N,Q,R колинеарны )

ΓAOT

KAC, TKAC

Утверждение 1: A, N, O ‐ колинеарны

Доказательство:

Очевидно: AP=AR, \text{ } OP=OR

\triangle APO \cong \triangle ARO \rightarrow AO - биссектриса \blacksquare

Утверждение 2: MK \parallel QR

Доказательство:

Если L \in AB, \text{ } TL \perp AB \rightarrow KL \parallel PR

По прямой Симпсона M,K,L - колинеарны \blacksquare

\dfrac{QR}{MK} = \dfrac{AR}{AK} ( Теорема Фалеса ) (3)

\dfrac{OR}{TK} = \dfrac{AR}{AK} ( Теорема Фалеса ) (4)

(3), (4) \rightarrow \dfrac{QR}{OR} = \dfrac{MK}{TK} (5)

\angle MKT = \angle OQR, (5) \rightarrow \triangle OQR \sim \triangle MKT \rightarrow OQ \parallel MT \square

  0
1 года 1 месяца назад #

Хорошое решение!

  0
1 года 1 месяца назад #

Есть решение с теоремой Менелая:

БОО AC>AB. Достаточно показать, что CRMO - вписанный. Докажем, что \triangle ROQ подобен \triangle ACN. \angle CAN=\angle QRO, \rightarrow RQ/RO=AN/AC (!), что легко доказывается через теорему Менелая