Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2000 год
Пусть ABC — треугольник. Пусть M и N — точки пересечения медианы и биссектрисы соответственно, опущенных из вершины A на сторону BC. Пусть Q и P — точки в которых перпендикуляр из вершины Nк прямой NA пересекается с MAи BA соответственно, и O — точка в которой перпендикуляр из точки P к BA пересекается с AN. Докажите, что прямая QO перпендикулярна BC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Γ− окружность описанная вокруг △ABC
R∈AC, OR⊥AC( По прямой Симпсона P,N,Q,R− колинеарны )
Γ∩AO−T
K∈AC, TK⊥AC
Утверждение 1: A, N, O ‐ колинеарны
Доказательство:
Очевидно: AP=AR, \text{ } OP=OR
\triangle APO \cong \triangle ARO \rightarrow AO - биссектриса \blacksquare
Утверждение 2: MK \parallel QR
Доказательство:
Если L \in AB, \text{ } TL \perp AB \rightarrow KL \parallel PR
По прямой Симпсона M,K,L - колинеарны \blacksquare
\dfrac{QR}{MK} = \dfrac{AR}{AK} ( Теорема Фалеса ) (3)
\dfrac{OR}{TK} = \dfrac{AR}{AK} ( Теорема Фалеса ) (4)
(3), (4) \rightarrow \dfrac{QR}{OR} = \dfrac{MK}{TK} (5)
\angle MKT = \angle OQR, (5) \rightarrow \triangle OQR \sim \triangle MKT \rightarrow OQ \parallel MT \square
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.