Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1990 год

Покажите, что для любого целого $n\ge 6$, существует выпуклый шестиугольник, который можно разделить на $n$ равных треугольников.

Комментарий/решение

Для $n=6$ возьмем правильный шестиугольник, разделенный на $6$ равносторонних треугольников.

Проверьте изображение. Первый шестиугольник составлен из $4k$ равных прямоугольных треугольников. Второй состоит из $4k+2$ равных прямоугольных треугольников, где $k\geq2$ равна $1+$длина горизонтальной стороны шестиугольника.

Для нечетных $n$ мы используем правильные прямоугольники со сторонами $1,3$ и $\sqrt{10}$ соответственно, расположенные как на третьем рисунке. Если $k$ — длина правой вертикальной стороны, то мы имеем шестиугольник, составленный из $4+2k+1=2k+5\geq7$ равных треугольников.