5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл
Комментарий/решение:
Пусть x1,x2...,x6 углы как показаны на рисунке.
Преобразовав неравенство
BD⋅AC+BF⋅AC+DF⋅CE+DB⋅CE+DF⋅AE+BF⋅AE≥2√3S+DF⋅AC+BF⋅CE+BD⋅AE
Выразив площадь шестиугольника
S=SABCD+SAFED=BD⋅AC⋅sin(x1)2+DF⋅AEsin(x4)2
Аналогично и S=SABCF+SFEDC и S=SBCDE+SAFBE
Суммирую все три выражения и поделив на 3 получаем формулу площади S выраженную через вышеописанные углы , тогда подставляя это в неравенство и приводя подобные, получаем
BD⋅AC(1−sin(x1)√3)+BF⋅AC(1−sin(x6)√3)DF⋅AE(1−sin(x4)√3)+BF⋅AE(1−sin(x5)√3)DF⋅CE(1−sin(x3)√3)+BD⋅CE(1−sin(x2)√3)≥DF⋅AC+BF⋅CE+BD⋅AE
Из треугольника BDF
BD+BF=DF(sin(x4+x5)+sin(x2+x3)sin(x1+x6))
DF+BF=BD(sin(x2+x3)+sin(x1+x6)sin(x4+x5))
BD+DF=BF(sin(x1+x6)+sin(x4+x5)sin(x2+x3))
Тогда снова приводя подобные учитывая то что выше, для удобства заменив выражения отличных от сторон, получаем
AC⋅DF(n−1)+BD⋅AE(m−1)+BF⋅CE(t−1)≥0
Заключительный раз выражая BD,BF через DF и AE,CE через AC преобразуя и сокращая на положительное AC⋅DF окончательно получаем неравенство
sin(x4+x5)(sin(x3+x4)sin(x1)+sin(x5+x6)sin(x2))sin(x4+x5)(sin(x3+x4)+sin(x5+x6)−sin(x1+x2))+sin(x1+x6)
+sin(x1+x6)(sin(x5+x6)⋅sin(x3)+sin(x1+x2)⋅sin(x4))(sin(x5+x6)+sin(x1+x2)−sin(x3+x4))+sin(x2+x3)
+sin(x2+x3)(sin(x1+x2)⋅sin(x5)+sin(x3+x4)⋅sin(x6))(sin(x1+x2)+sin(x3+x4)−sin(x5+x6))
≤√3
При условий что x1+x2+x3+x4+x5+x6=720∘
Отметим что равенство достигается когда x1=x2=x3=x4=x5=x6=120∘
Покажем что только при этих значениях выражение выше достигает своего максимума.
1)
Пусть (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(a,a,a,a,a,b) (Порядок не важен, так как функция на выходе одна и та же) откуда b=720−5a
Подставляя в выражение N, получаем
N(a)=−3sina⋅(2cos2a−1)4cos2(2a)+2
Найдя N′(a)=√27⋅cos(π6−a)(2sin(π6−a)−1)2=0
Откуда a=2π3=120∘ проверяя получаем, что функция в данной точке достигает максимума равной √3.
2) Пусть (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(a,a,a,a,b,c) выражая c=720−4a−b подставив получаем
N=−3sina⋅cos(2a+b)2cos2a(cos(2a+b)+cosa)+2cosa
Рассмотрим как функцию при фиксированном значений a тогда
N′=3sin2a(cos2a+1)⋅sin(2a+b)(2cos2a(cos(2a+b)+cosa)+2⋅cosa)2
=0 откуда sin(2a+b)=0 откуда b=360−2a
Значит рассмотрев числа (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(a,a,a,a,360−2a ,360−2a) аналогичными рассуждениями (1) получаем так же Nmax=√3 при a=120∘
3)
Значит каким бы ни были углы x1...x6 рассуждениями как в пункте (2) выражения будет постепенно сводится к (1) и при шести различных, пяти итд переменных, откуда и следует утверждение.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.