Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл


Для выпуклого шестиугольника ABCDEF площади S докажите неравенство AC(BD+BFDF)+CE(BD+DFBF)+AE(BF+DFBD)23S.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   -2
6 года 4 месяца назад #

пред. Правка 3   -1
6 года 10 месяца назад #

Пусть x1,x2...,x6 углы как показаны на рисунке.

Преобразовав неравенство

BDAC+BFAC+DFCE+DBCE+DFAE+BFAE23S+DFAC+BFCE+BDAE

Выразив площадь шестиугольника

S=SABCD+SAFED=BDACsin(x1)2+DFAEsin(x4)2

Аналогично и S=SABCF+SFEDC и S=SBCDE+SAFBE

Суммирую все три выражения и поделив на 3 получаем формулу площади S выраженную через вышеописанные углы , тогда подставляя это в неравенство и приводя подобные, получаем

BDAC(1sin(x1)3)+BFAC(1sin(x6)3)DFAE(1sin(x4)3)+BFAE(1sin(x5)3)DFCE(1sin(x3)3)+BDCE(1sin(x2)3)DFAC+BFCE+BDAE

Из треугольника BDF

BD+BF=DF(sin(x4+x5)+sin(x2+x3)sin(x1+x6))

DF+BF=BD(sin(x2+x3)+sin(x1+x6)sin(x4+x5))

BD+DF=BF(sin(x1+x6)+sin(x4+x5)sin(x2+x3))

Тогда снова приводя подобные учитывая то что выше, для удобства заменив выражения отличных от сторон, получаем

ACDF(n1)+BDAE(m1)+BFCE(t1)0

Заключительный раз выражая BD,BF через DF и AE,CE через AC преобразуя и сокращая на положительное ACDF окончательно получаем неравенство

sin(x4+x5)(sin(x3+x4)sin(x1)+sin(x5+x6)sin(x2))sin(x4+x5)(sin(x3+x4)+sin(x5+x6)sin(x1+x2))+sin(x1+x6)

+sin(x1+x6)(sin(x5+x6)sin(x3)+sin(x1+x2)sin(x4))(sin(x5+x6)+sin(x1+x2)sin(x3+x4))+sin(x2+x3)

+sin(x2+x3)(sin(x1+x2)sin(x5)+sin(x3+x4)sin(x6))(sin(x1+x2)+sin(x3+x4)sin(x5+x6))

3

При условий что x1+x2+x3+x4+x5+x6=720

Отметим что равенство достигается когда x1=x2=x3=x4=x5=x6=120

Покажем что только при этих значениях выражение выше достигает своего максимума.

1)

Пусть (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(a,a,a,a,a,b) (Порядок не важен, так как функция на выходе одна и та же) откуда b=7205a

Подставляя в выражение N, получаем

N(a)=3sina(2cos2a1)4cos2(2a)+2

Найдя N(a)=27cos(π6a)(2sin(π6a)1)2=0

Откуда a=2π3=120 проверяя получаем, что функция в данной точке достигает максимума равной 3.

2) Пусть (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(a,a,a,a,b,c) выражая c=7204ab подставив получаем

N=3sinacos(2a+b)2cos2a(cos(2a+b)+cosa)+2cosa

Рассмотрим как функцию при фиксированном значений a тогда

N=3sin2a(cos2a+1)sin(2a+b)(2cos2a(cos(2a+b)+cosa)+2cosa)2

=0 откуда sin(2a+b)=0 откуда b=3602a

Значит рассмотрев числа (x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(a,a,a,a,3602a ,3602a) аналогичными рассуждениями (1) получаем так же Nmax=3 при a=120

3)

Значит каким бы ни были углы x1...x6 рассуждениями как в пункте (2) выражения будет постепенно сводится к (1) и при шести различных, пяти итд переменных, откуда и следует утверждение.