5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл
Найдите все действительные а, для которых существует функция f:R→R,
удовлетворяющая неравенству
x+af(y)≤y+f(f(x))
для всех x∈R.
(Здесь R — множество всех действительных чисел.)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Перепишем условие как f(f(x))−x≥af(y)−y(∗)
Ответ:
Заметим, что |x|≥x≥−|x|.
∙ Для a<−1, подойдет функция f(x)=|x|:
f(f(x))−x=|x|−x≥0≥−|y|−y≥af(y)−y.
∙ Для −1≤a<0, подойдет f(x)=|x|−a≥0:
f(f(x))−x=|x|a2−x≥|x|−x≥0≥−|y|−y=af(y)−y.
∙ Для a=1, очевидно подойдет f(x)=x.
Решение:
Пусть a>0,a≠1. Подставив x=0:
f(y)≤y+f(f(0))a⟹
f(f(y))≤f(y)a+f(f(0))a≤ya2+f(f(0))a2+f(f(0))a=Ay+B,
где A≠1. Используем это неравенство в (∗):
(A−1)x+B≥f(f(x))−x≥af(y)−y,
зафиксировав y, и заметив, что (A−1)x+B принимает любое действительно значение получаем противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.