Processing math: 100%

5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл


Найдите все действительные а, для которых существует функция f:RR, удовлетворяющая неравенству x+af(y)y+f(f(x)) для всех xR. (Здесь R — множество всех действительных чисел.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
6 года 3 месяца назад #

Можно ли уточнить: здесь y константа?

  1
3 года 3 месяца назад #

нет, y - тоже действительное число

  1
3 года 3 месяца назад #

гений, и нет, y не константа

пред. Правка 2   1
3 года 2 месяца назад #

решение неправильное ( у меня)

  4
2 года 8 месяца назад #

Перепишем условие как f(f(x))xaf(y)y()

Ответ:

Заметим, что |x|x|x|.

Для a<1, подойдет функция f(x)=|x|:

f(f(x))x=|x|x0|y|yaf(y)y.

Для 1a<0, подойдет f(x)=|x|a0:

f(f(x))x=|x|a2x|x|x0|y|y=af(y)y.

Для a=1, очевидно подойдет f(x)=x.

Решение:

Пусть a>0,a1. Подставив x=0:

f(y)y+f(f(0))a

f(f(y))f(y)a+f(f(0))aya2+f(f(0))a2+f(f(0))a=Ay+B,

где A1. Используем это неравенство в ():

(A1)x+Bf(f(x))xaf(y)y,

зафиксировав y, и заметив, что (A1)x+B принимает любое действительно значение получаем противоречие.