Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл


Найдите все такие пары целых чисел (x,y), что x22009y+2y2=0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
6 года 1 месяца назад #

x,yZ:x2=2009y2y20y[0,1004]

2009=7241x2+2y2=7241

x2+2y20(mod7)

x=7a,y=7ba2+2b2287b=0

a2+2b20(mod7)

a=7m,b=7nm2+2n241n=0n[0,20]

(m,n)=(0,0),(12,18),(12,18)

(x,y)=(0,0),(7212,7218),(7212,7218)

  0
1 года 3 месяца назад #

что вы сделали после 3 строки

  1
1 года 3 месяца назад #

Квадрат может оставлять остатки 0,1,2,4, и если оба квадрата не делятся на 7, то в сумме x2+2y2 не поделится на 7.

пред. Правка 3   0
1 года 3 месяца назад #

Решение: если посмотреть по y то это квадратное уравнение. тогда

x22009y+2y2=0

D=2009242x20 ( так как x, y целые числа)

200928x20

(20098x)((2009+8x)0

710y710

по x теперь

D=024(2y22009)0

80368y20

1004,5y20

31x31

поставляя эти значение в дискриминант находим x при котором D равняется полным квадратом.

Этот метод очень хорошо когда ничего не знаешь. Если в голову ничего не приходить очень хорошая идея