5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл
Найдите все такие пары целых чисел (x,y), что
x2−2009y+2y2=0.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∀x,y∈Z:x2=2009y−2y2≥0⇔y∈[0,1004]
2009=72⋅41⇒x2+2y2=72⋅41
x2+2y2≡0(mod7)
x=7a,y=7b⇒a2+2b2−287b=0
a2+2b2≡0(mod7)
a=7m,b=7n⇒m2+2n2−41n=0⇔n∈[0,20]
(m,n)=(0,0),(12,18),(−12,18)
(x,y)=(0,0),(72⋅12,72⋅18),(−72⋅12,72⋅18)
Решение: если посмотреть по y то это квадратное уравнение. тогда
x2−2009y+2y2=0
D=20092−4∗2∗x2≥0 ( так как x, y целые числа)
20092−8x2≥0
(2009−√8∗x)((2009+√8∗x)≥0
−710≤y≤710
по x теперь
D=02−4(2y2−2009)≥0
8036−8y2≥0
1004,5−y2≥0
−31≤x≤31
поставляя эти значение в дискриминант находим x при котором D равняется полным квадратом.
Этот метод очень хорошо когда ничего не знаешь. Если в голову ничего не приходить очень хорошая идея
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.