6-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2010 жыл
Шеңберге іштей сызылған ABCD төртбұрышында AB=AD екені белгілі. BC және CD қабырғалаларынан MN=BM+DN болатындай етіп сәйкесінше M және N нүктелері алынған. AM және AN түзулері ABCD төртбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше P және Q нүктелерінде қияды. APQ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі MN кесіндісіне тиісті екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Возьмём произвольную точку M на BC и отразим относительно отрезка AM точку B пусть это будет точка X тогда ∠ABM=∠AXM если MX пересекает CD в точке Y тогда XY=DY так как AB=AX=AD и ∠ADY=∠AXY и четырёхугольник вписанный, откуда Y=N значит NA,MA биссектрисы углов BMN, DNM откуда BX⊥AP и DX⊥AQ.
Пусть BX пересекает AN в точке F тогда ∠BFA=90∘−∠BAX+∠DAX2=90∘−∠BAD2
тогда как ∠ADB=90∘−∠BAD2 то есть F=Q аналогично и ∠ABX=∠ABQ=∠APQ значит PD,BQ высоты APQ которые пересекаются в точке X а X∈MN.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.