6-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2010 жыл

Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышында $AB=AD$ екені белгілі. $BC$ және $CD$ қабырғалаларынан $MN=BM+DN$ болатындай етіп сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелері алынған. $AM$ және $AN$ түзулері $ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $APQ$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі $MN$ кесіндісіне тиісті екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Возьмём произвольную точку $M$ на $BC$ и отразим относительно отрезка $AM$ точку $B$ пусть это будет точка $X$ тогда $\angle ABM = \angle AXM $ если $MX$ пересекает $CD$ в точке $Y$ тогда $XY=DY$ так как $AB=AX=AD$ и $\angle ADY = \angle AXY$ и четырёхугольник вписанный, откуда $Y=N$ значит $NA,MA$ биссектрисы углов $BMN, \ DNM$ откуда $BX \perp AP$ и $DX \perp AQ$.

Пусть $BX$ пересекает $AN$ в точке $F$ тогда $\angle BFA = 90^{\circ} - \dfrac{\angle BAX+\angle DAX}{2} = 90^{\circ} - \dfrac{\angle BAD}{2}$

тогда как $\angle ADB = 90^{\circ} - \dfrac{\angle BAD}{2}$ то есть $F = Q$ аналогично и $\angle ABX = \angle ABQ = \angle APQ$ значит $PD, BQ$ высоты $APQ$ которые пересекаются в точке $X$ а $X \in MN$.