Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2010 жыл


Шеңберге іштей сызылған ABCD төртбұрышында AB=AD екені белгілі. BC және CD қабырғалаларынан MN=BM+DN болатындай етіп сәйкесінше M және N нүктелері алынған. AM және AN түзулері ABCD төртбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше P және Q нүктелерінде қияды. APQ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі MN кесіндісіне тиісті екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 6 месяца назад #

Возьмём произвольную точку M на BC и отразим относительно отрезка AM точку B пусть это будет точка X тогда ABM=AXM если MX пересекает CD в точке Y тогда XY=DY так как AB=AX=AD и ADY=AXY и четырёхугольник вписанный, откуда Y=N значит NA,MA биссектрисы углов BMN, DNM откуда BXAP и DXAQ.

Пусть BX пересекает AN в точке F тогда BFA=90BAX+DAX2=90BAD2

тогда как ADB=90BAD2 то есть F=Q аналогично и ABX=ABQ=APQ значит PD,BQ высоты APQ которые пересекаются в точке X а XMN.