Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Вася 99 карточканың әрқайсысына бір саннан жазып (ол сандар ішінде бірдей сандар болуы мүмкін), әр карточканы санымен төмен қаратып шеңбер бойымен қойып шықты. Сосын ол Петяға, әр көрші тұрған екі карточкада қандай сан жазылғанын айтты (бірақ қай карточкада қай сан екенін айтпады). Осы айтылғандар бойынша Петя қай карточкада қандай сан жызылғанын дәл таба алмайтындай етіп, Вася өзіне керек сандар таңдап ала алады ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Не мог.
Решение. Заметим, что Пете достаточно определить число на какой-то одной карточке: рассматривая пары из неё и соседних карточек, мы узнаем числа на соседних карточках, и, продвигаясь таким же образом далее, узнаем числа на всех карточках. Покажем, что Петя сможет это сделать. Рассмотрим три подряд идущие карточки. Пусть про первые две известно, что на них написаны числа $a$ и $b$, а про две последние — что на них написаны числа $a$ и $c$. Если числа $b$ и $c$ различны или $a = b$, то понятно, что на средней карточке написано число $a$, и задача решена. Получается, что Петя не может определить числа на карточках только тогда, когда на каждой паре соседних карточек написаны одни и те же числа $a$ и $b$. Но этот случай невозможен, потому что тогда числа $a$ и $b$ чередуются по кругу, и количество карточек должно быть чётным, а число 99 нечётно.