Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур дистанционного этапа

Вася написал на 99 карточках по одному числу (среди этих чисел могли быть и равные) и положил карточки по кругу числами вниз. Для каждой пары соседних карточек он сообщил Пете, какие числа написаны на этих карточках, но не сообщил, какое число на какой карточке. Мог ли Вася подобрать числа так, чтобы Петя не смог по этим данным наверняка выяснить про каждую карточку, какое число на ней написано?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: Не мог.
Решение. Заметим, что Пете достаточно определить число на какой-то одной карточке: рассматривая пары из неё и соседних карточек, мы узнаем числа на соседних карточках, и, продвигаясь таким же образом далее, узнаем числа на всех карточках. Покажем, что Петя сможет это сделать. Рассмотрим три подряд идущие карточки. Пусть про первые две известно, что на них написаны числа $a$ и $b$, а про две последние — что на них написаны числа $a$ и $c$. Если числа $b$ и $c$ различны или $a = b$, то понятно, что на средней карточке написано число $a$, и задача решена. Получается, что Петя не может определить числа на карточках только тогда, когда на каждой паре соседних карточек написаны одни и те же числа $a$ и $b$. Но этот случай невозможен, потому что тогда числа $a$ и $b$ чередуются по кругу, и количество карточек должно быть чётным, а число 99 нечётно.