Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур дистанционного этапа

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$, в треугольнике $BDC$ — биссектрису $DE$, а в треугольнике $DEC$ — биссектрису $EF$. Оказалось, что прямые $BD$ и $EF$ параллельны. Докажите, что угол $ABC$ вдвое больше угла $BAC$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Из условия следует, что $\angle ABD =\angle EBD = \angle CEF = \angle DEF =\angle BDE$. Таким образом, внутренние накрест лежащие углы $ABD$ и $BDE$ при пересечении прямой $BD$ прямыми $AB$ и $DE$ равны. Следовательно, $AB \parallel DE$, откуда $\angle BAC = \angle EDF =\angle EDB =\angle ABD =\angle ABC/2$, что и требовалось доказать.

Так как $BD||EF$ значит:

$\angle BDE=\angle BDE=\angle DEF=\angle FEC$

И по условию:$\angle ABD=\angle DBC$

Возьмем $\angle DBC$ как $X$ a угол $\angle BDE$ как

$Y$. Значит угол $\angle BED$ Будет $180-X-Y$ а так как угол $\angle DEC$ $2X$

значит $X=Y$.

Угол $\angle BDA$ будет $180-2X$ потому что угол $\angle BDC$ равен $2X$ а так как угол $\angle ABD$ равен $X$ значит угол $\angle BAD$ будет равен $X$

А значит угол $\angle BAC=x$ а $\angle ABC=2X$