Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2007 жыл

Егер накты оң $x$, $y$ және $z$ сандары $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ теңдігін қанағаттандыратын болса $$\dfrac{{{x}^{2}}+yz}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}+\dfrac{{{y}^{2}}+zx}{\sqrt{2{{y}^{2}}(z+x)}}+\dfrac{{{z}^{2}}+xy}{\sqrt{2{{z}^{2}}(x+y)}}\ge 1$$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Заметим, что

$$\sum_{cyc}\frac{{{x}^{2}}+yz}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}} = \sum_{cyc}\frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}+\sum_{cyc}\frac{xy+xz}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}=$$

$$=\sum_{cyc}\frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}+\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}$$

По неравенству $QM\ge AM:$

$$\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{y+z}{2}}\ge \sum_{cyc}\dfrac{\sqrt y +\sqrt z}{2}=1$$

Тогда достаточно доказать, что $$\sum_{cyc}\frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}\ge 0\quad (1)$$

Без ог. общности можно принять, что $x\ge y\ge z.$ Пусть

$$A=\dfrac{1}{\sqrt{2x^2(y+z)}},\quad B=\dfrac{1}{\sqrt{2y^2(z+x)}},\quad C=\dfrac{1}{\sqrt{2z^2(x+y)}}$$

Тогда $C\ge B.$ Заметим, что

$$A(x-y)(x-z)\ge 0$$

и

$$B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)=C(x-z)(y-z)-B(y-z)(x-y)\ge$$

$$\ge C(x-y)(y-z)-B(y-z)(x-y)=(x-y)(y-z)(C-B)\ge 0$$

Из этих двух неравенств следует, что $(1)$ верно$.\quad\square$