Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2007 жыл


S жиыны бір-біріне тең емес тоғыз бүтін санынан құрылсын, және осы сандардың жәй бөлгіштерінің мәндері 3-тен аспасын. Көбейтіндісі толық куб болатындай S жиынынан үш сан табылатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
7 года 9 месяца назад #

Любое число множества S можно представить в виде 2n3m;n,mN, ведь простые числа, не превосходящие 3, это 2 и 3 . Число n можно представить в виде n=3k;n=3k+1;n=3k+2; в зависимости от остатка степени при делении на 3. Аналогично, число m можно представить в виде m=3a;m=3a+1;m=3a+2;. Рассмотрим всевозможные xисла множества S.

23k33a;23k33a+1;23k33a+2;

23k+133a;23k+133a+1;23k33a+2;

23k+233a;23k+233a+1;23k+233a+2;

Рассмотрим несколько ситуаций.

1)Пусть в множестве S имеется три и более чисел одного вида.Причем здесь не важно ,равны ли сами степени, важно ,что сумма степеней поделится на 3. Тогда их произведение точный куб:

2n3m2n3m2n3m=(2n3m)3

2)Пусть все виды различны. Тогда, двигаясь по вертикали таблицы( смотрите выше) , по горизонтали или диагонали, легко найти удовлетворяющую тройку

Например 23k33a23k+133a+123k+233a+2=(23k+133a+1)3- точный куб

3)Осталось рассмотреть ситуацию, когда два числа одного и того же вида. Причем не обязательно, что такая пара одна. Рассмотрим максимальный случай- 4 видовые пары. Значит, остается 5 видов.Но 5 чисел в таблице 3 на 3 всегда можно расположить так, что найдутся три числа , имеющие разные строки и столбцы, то есть остатки показателя степени при делении на 3. А если нет, то какие то три числа выстраиваются в диагональ или линию (случай 2). Доказательство завершено