Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Кез келген $k$ натурал саны үшін арифметикалық прогрессия құрайтын $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$, $\dfrac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}},$ $\ldots$, $\dfrac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рационал сандар тізбегі табылатынын дәлелде, мұндағы әрбір $i=1,2,\ldots,k$ үшін ${{a}_{i}}$, ${{b}_{i}}$ — өзара жай натурал сандар және ${{a}_{1}}$, ${{b}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{b}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{k}}$ — әртүрлі сандар.