Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл
(i) A мен B жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін i саны A немесе B жиынында болса, онда i+a саны A жиынында немесе i−a саны B жиыныда болады.
Олай болса, a|A|=b|B| екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде |X| — X жиынының элементтер саны.)
Комментарий/решение:
Переформулируем условие:
(1) Пусть у нас есть граф с двумя долями A и B с конечным количеством вершин. Пусть в доле A их p вершин, а в доле B их q.
(2) Из любой вершины с числом i проведена стрелка либо к вершине с числом i+a из доли A, или к вершине с числом i−b из доли B. И для удобства пусть на стрелке написано: +a в первом случаи, и −b во втором.
Заметим, что в нашем графе есть ориентированный цикл.
Доказательство: Возьмём произвольную вершину X, тогда пусть оно соединено стрелкой с другой вершиной и оно с другой и т.д. Тогда несколько раз подряд стрелки уходят из вершины одной доли в вершину же этой доли и в один момент оно будет соединено с вершиной другой доли и т.д. Так как у нас вершин конечно у нас эта операция однажды закончиться. ч.т.д.
(Думаю стоит упомянуть что если стрелка входит в одну вершину то эта же стрелка не может из нее выйти, ведь тогда очевидно что a равен b тогда аналогично рассмотриваем циклы и получаем что у нас биекция, и во множествах A и B одинакое количество элементов, ч.т.д.)
Так как вершины в циклах графа не совпадают, то наш граф разбивается на циклы. Рассмотрим произвольный цикл: Возьмем любую вершину Y с числом m. Так как мы вышли из вершины с числом m и вернулись обратно в неё же, значит мы несколько раз к числу m прибавляли a и отнимали b. Тогда если в этом цикле k1 стрелок с надписью +a и d1 стрелок с надписью −b, тогда у нас:
ak1=bd1
Если проделать эту операцию для всех циклов тогда у нас выйдет:
a(k1+k2+…+kn)=b(d1+d2+…+dn)
Ну, так как у нас k1+k2+…+kn≥p и все kj различны то их сумма равно p. Аналогично d1+d2+…+dn=q
Следовательно ap=bq ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.