Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл


a мен b бүтін оң сандар, ал A мен B төменгі шарттарды қанағаттандыратын шекті бүтін сандар жиындары болсын:
(i) A мен B жиындарының ортақ элементі жоқ;
(ii) егер бүтін i саны A немесе B жиынында болса, онда i+a саны A жиынында немесе ia саны B жиыныда болады.
Олай болса, a|A|=b|B| екенін дәлелдеңдер. (Бұл жерде |X|X жиынының элементтер саны.)
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   10
1 года 8 месяца назад #

Переформулируем условие:

(1) Пусть у нас есть граф с двумя долями A и B с конечным количеством вершин. Пусть в доле A их p вершин, а в доле B их q.

(2) Из любой вершины с числом i проведена стрелка либо к вершине с числом i+a из доли A, или к вершине с числом ib из доли B. И для удобства пусть на стрелке написано: +a в первом случаи, и b во втором.

Заметим, что в нашем графе есть ориентированный цикл.

Доказательство: Возьмём произвольную вершину X, тогда пусть оно соединено стрелкой с другой вершиной и оно с другой и т.д. Тогда несколько раз подряд стрелки уходят из вершины одной доли в вершину же этой доли и в один момент оно будет соединено с вершиной другой доли и т.д. Так как у нас вершин конечно у нас эта операция однажды закончиться. ч.т.д.

(Думаю стоит упомянуть что если стрелка входит в одну вершину то эта же стрелка не может из нее выйти, ведь тогда очевидно что a равен b тогда аналогично рассмотриваем циклы и получаем что у нас биекция, и во множествах A и B одинакое количество элементов, ч.т.д.)

Так как вершины в циклах графа не совпадают, то наш граф разбивается на циклы. Рассмотрим произвольный цикл: Возьмем любую вершину Y с числом m. Так как мы вышли из вершины с числом m и вернулись обратно в неё же, значит мы несколько раз к числу m прибавляли a и отнимали b. Тогда если в этом цикле k1 стрелок с надписью +a и d1 стрелок с надписью b, тогда у нас:

ak1=bd1

Если проделать эту операцию для всех циклов тогда у нас выйдет:

a(k1+k2++kn)=b(d1+d2++dn)

Ну, так как у нас k1+k2++knp и все kj различны то их сумма равно p. Аналогично d1+d2++dn=q

Следовательно ap=bq ч.т.д.