Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2013 год

Найдите все такие натуральные $n$, что число $\dfrac{n^2 + 1}{[\sqrt{n}]^2 + 2}$ — целое. Здесь $[r]$ обозначает наибольшее целое, не превосходящее $r$.

Комментарий/решение

$1)$Допустим $n=a^2$($n\neq 1; n>1$) $$\Rightarrow \frac{a^4+1}{a^2+2}= \frac{(a^2+2)(a^2-2)+5}{a^2+2} \Rightarrow \frac{5}{a^2+2}\in \mathbb{N}\Rightarrow \varnothing$$

$2)$ $n=a^2+b$.

$$\Rightarrow(a+1)^2> a^2+b > a^2\rightarrow2a \geq b > 0$$ .

$$\Rightarrow \frac{(a^2+b)^2+1}{a^2+2}\in \mathbb{N}=\frac{(a^2+2)(a^2-2)+2b(a^2+2)+b^2-4b+5}{a^2+2}\Rightarrow \frac{(b-2)^2+1}{a^2+2}\in \mathbb{N}$$

Используя что $2a \geq b$, получаем что при делении может выйти $1,2,3$.

1) $(b-2)^2+1=a^2+2$ (тривиально невозможно)

2)$(b-2)^2+1=2a^2+4$

По сравнению с $mod$ $3$ получаем тот факт что $a$ и $(b-2)$ делятся на 3 и $(b-2)^2-2a^2=3$; а по $mod$ $9$ это невозможно (спасибо Абен).

3)$(b-2)^2+1$=$3a^2+6$

По $mod$ $3$ доказываем что это невозможно.

$Ответ:\mathbf{n\notin \mathbb{N}}.$

$(i) \sqrt{n}=k;$

$k^2+2 \mid k^4+1$

$k^2+2 \mid k^4+2k^2$

$k^2+2 \mid 2k^2-1$

$k^2+2 \mid 5 \rightarrow \varnothing$

$(ii) k<\sqrt{n}<k+1$

$[\sqrt{n}]=k$

$n=k^2+l$

$n-l+2 \mid n^2+1$

$n-l+2 \mid n^2-l-n$

$n-l+2 \mid ln-l-3n$

$n-l+2 \mid ln-2n-2l+2$

$n-l+2 \mid n^2-2l+2$

$n-l+2 \mid n^2-2-2n$

$n-l+2 \mid 2n+1$

$n-l+2 \mid 4n+2$

$n-l+2 \mid 3n+l$

$n-l+2 \mid 4l+6$

$n-l+2 \mid 4n-4l-4$

$n-l+2 \mid 12$

$n-l+2 = 2;3;4;6;12;$

$2 \mid 2n+1 \rightarrow \varnothing$

$3 \mid n^2+1 \rightarrow \varnothing$

Поскольку для этих двух чисел не работает то для остальных также не будет работать т.к. остальные числа можно записать в виде $2^a3^b$

Из чего, ответ: $n$ $\notin N$