Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2013 жыл

Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышының $AD$, $BE$ және $CF$ биіктіктері, ал $O$ — оған сырттай сызылған шыңбердің центрі болсын. $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$ кесінділері $ABC$ үшбұрышын аудандары өзара тең үш үшбұрыштар жұбына бөлетінін көрсетндер.

Комментарий/решение

$Лемма$: Пусть у нас имеется треугольник $\triangle ABC$,$\ O$-центр описанной окружности, $AD$ и $BE$ высоты, тогда $S_{BOD}=S_{AOE}$. Доказательство: $S_{BOD}=\dfrac{AO\cdot AE\cdot \sin \angle OAE}{2}$, $S_{AOE}=\dfrac{BO\cdot BD\cdot \sin \angle OBD}{2}$, так как BO=AO(радиусы), то достаточно доказать, что $\dfrac{AE\cdot \sin \angle OAE}{2}$=$\dfrac{BD\cdot \sin \angle OBD}{2}$. $\angle OAE=\angle BAD$ и $\angle OBD=\angle ABE$ поскольку $AD$ и $BE$ высоты, а $\ O$ центр описанной. Заметим, что $AB=\dfrac{AE}{\sin \angle ABE}$=$\dfrac{BD}{\sin \angle BAD}$ $\Rightarrow$ $AE\cdot \sin \angle BAD=BD\cdot \sin \angle ABE$. Лемма доказана. Теперь по этой лемме получаем три пары равновеликих треугольников