Эйлер атындағы олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Шеңбер бойында 2013 нүкте белгілеп, оның әрқайсысын оған көрші көрші екі нүктемен қосқан. Және де шеңбердің центрін белгілеп, оны әр белгіленген нүктемен қосқан. Әр қызыл түсті нүкте үшін, оған қосылған көк түсті нүктелер саны тақ, ал әр көк түсті нүкте үшін, оған қосылған көк түсті нүкте саны жұп болатындай, осы нүктелердің 1007-сін қызыл, 1007-сін көк түске бояп шығуға болады ма? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя.
Решение. Допустим, центр окружности красный. Тогда на окружности 1006 красных и 1007 синих точек, и потому там найдутся две синие точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть синей — иначе найдётся синяя точка, соединённая с одной синей. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть синими — противоречие. Допустим, центр окружности синий. Тогда на окружности найдутся две красные точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть красной — иначе найдётся красная точка, соединённая с двумя синими. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть красными — снова противоречие.