Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, II тур заключительного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Раскрыв в левой части скобки и приведя подобные члены, легко показать, что (a(b−c)b+c+b(c−a)c+a+c(a−b)a+b)(a+b+c)=a2(b−c)b+c+b2(c−a)c+a+c2(a−b)a+b.(∗) Поэтому если a(b−c)b+c+b(c−a)c+a+c(a−b)a+b=0, то и a2(b−c)b+c+b2(c−a)c+a+c2(a−b)a+b=0. Обратно, пусть a2(b−c)b+c+b2(c−a)c+a+c2(a−b)a+b=0. При a+b+c≠0, равенство a(b−c)b+c+b(c−a)c+a+c(a−b)a+b=0 сразу получается из равенства (∗). Если же a+b+c=0, то a(b−c)b+c+b(c−a)c+a+c(a−b)a+b=a(b−c)−a+b(c−a)−b+c(a−b)−c=(c−b)+(a−c)+(b−a)=0.
a2(b−c)b+c+b2(c−a)c+a+c2(a−b)a+b=T
a(b−c)b+c+b(c−a)c+a+c(a−b)a+b=S=0
0=aS+bS+cS=T+ab(c−a)+cb(c−a)c+a+ab(b−c)+ca(b−c)b+c+ac(a−b)+bc(a−b)a+b=
=T+b(c−a)(a+c)c+a+a(b−c)(b+c)b+c+c(a−b)(a+b)a+b=T+bc−ab+ab−ac+ac−bc=T
T=0
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.