Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, II тур заключительного этапа


Докажите, что для произвольных a,b,c равенство a(bc)b+c+b(ca)c+a+c(ab)a+b=0 выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство a2(bc)b+c+b2(ca)c+a+c2(ab)a+b=0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Раскрыв в левой части скобки и приведя подобные члены, легко показать, что (a(bc)b+c+b(ca)c+a+c(ab)a+b)(a+b+c)=a2(bc)b+c+b2(ca)c+a+c2(ab)a+b.() Поэтому если a(bc)b+c+b(ca)c+a+c(ab)a+b=0, то и a2(bc)b+c+b2(ca)c+a+c2(ab)a+b=0. Обратно, пусть a2(bc)b+c+b2(ca)c+a+c2(ab)a+b=0. При a+b+c0, равенство a(bc)b+c+b(ca)c+a+c(ab)a+b=0 сразу получается из равенства (). Если же a+b+c=0, то a(bc)b+c+b(ca)c+a+c(ab)a+b=a(bc)a+b(ca)b+c(ab)c=(cb)+(ac)+(ba)=0.

  -1
6 года 8 месяца назад #

a2(bc)b+c+b2(ca)c+a+c2(ab)a+b=T

a(bc)b+c+b(ca)c+a+c(ab)a+b=S=0

0=aS+bS+cS=T+ab(ca)+cb(ca)c+a+ab(bc)+ca(bc)b+c+ac(ab)+bc(ab)a+b=

=T+b(ca)(a+c)c+a+a(bc)(b+c)b+c+c(ab)(a+b)a+b=T+bcab+abac+acbc=T

T=0