Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Үстел үстінде жаңғақ саны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және 10 болатын 10 үйір жатыр. Екі ойыншы кезектесіп бір жаңғақтан алады. Үстелде 3 жаңғақ қалғанда ойын бітеді. Егер ол бір жаңғақты 3 үйір болса, ойында екінші жүрген ойыншы ұтады, кері жағдайда ойынды бастаған ойыншы ұтады. Қарсыласы қалай ойнамаса да, ойынды қай ойыншы ұтуы мүмкін? ( И. Рубанов, А. Шаповалов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Назовем кучки из одного ореха единицами, а из двух — двойками. Первый должен придерживаться следующих правил: 1) если на доске есть единицы — убрать одну из них; 2) не брать из двоек. В остальном ходы первого могут быть любыми. Заметим, что число орехов в начале игры нечетно, значит, оно нечетно и перед любым ходом первого. Поэтому перед его ходом на доске всегда будет хотя бы одна нечетная кучка, то есть первый всегда сможет сделать ход, не нарушая описанных правил. Теперь заметим, после первого хода первого на доске нет единиц. После хода второго может появиться не более одной новой единицы, которую первый заберет. Значит, и после следующих ходов первого единиц на доске не будет, а после любого хода второго на доске будет не больше одной единицы. В частности, так будет и в конце игры, то есть первый выиграет.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Выигрывает первый. Каждым ходом он берет орех из самой маленькой кучки. Тогда после 15-го хода первого исчезнут не менее 5 кучек. Итак после ответного хода второго останется 15 орехов и не более 5 кучек. Если кучек ровно 5, то в наименьшей не больше 3 орехов. Поэтому еще через 3 хода первого и второго останется 9 орехов и не более 4 кучек. Если кучек ровно 4, то в наименьшей не более 2 орехов. Еще через 2 хода останется 5 орехов и не более 3 кучек. Если кучек ровно 3, то в наименьшей 1 орех. Взяв его, первый оставит всего 2 кучки и выиграет.