Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Кез келген көрші екі санның 1-ден үлкен ортақ бөлгіші болатындай және сол бөлгішке қалған сандардың ешқайсысы бөлінбейтіндей, бір қатарға ең көп дегенде қанша екітаңбалы сан жазып шығуға болады?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 10.
Решение. Десять чисел написать можно: 11, 77, 91, 65, 85, 51, 57, 38, 46, 23. Пусть нам удалось написать 11 таких чисел. Выпишем для каждой пары соседних чисел их общий делитель, отличный от 1. Получится 10 чисел, любые два из которых взаимно просты. Все эти числа либо однозначные, либо двузначные. Но нельзя выбрать более четырёх однозначных чисел, отличных от 1, любые два из которых взаимно просты. Поэтому в построенном ряду из 10 чисел будет не менее шести двузначных. Значит, какие-то два из них стоят рядом, и какое-то из чисел исходного ряда делится на каждое из них. Но, поскольку они взаимно просты, оно делится и на их произведение. А двузначное число не может делиться на произведение двух двузначных чисел.