Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, IV тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. Выигрывает Вася.
Решение. Вася разбивает все клетки доски на пары центрально симметричных, и ответным ходом красит стороны клетки из той же пары так, чтобы центрально симметричные стороны были покрашены в разные цвета. Пока Васина стратегия действует, после его хода в каждой паре центрально симметричных сторон либо обе стороны окрашены в разные цвета, либо обе стороны не окрашены.
Докажем, что Вася всегда может сделать ход. Во-первых, у центрально симметричных клеток нет общих сторон. Поэтому Петя, делая ход, не сможет одновременно окрасить две центрально симметричных стороны. Во-вторых, если 4 окрашенные Петей стороны ограничивают клетку, то и 4 центрально симметричные им стороны тоже ограничивают клетку, и все они не окрашены. Вася может их красить.
Покажем, что, действуя по стратегии, Вася не образует запрещённых одноцветных отрезков. Пусть покрашенная Васей сторона AB продолжила уже покрашенную сторону BC. Если B — центр доски, то стороны AB и BC центрально симметричны, и покрашены по Васиной стратегии в разные цвета. Иначе AB и BC центрально симметричны сторонам A′B′ и B′C′, при этом Петя предыдущим ходом смог покрасить сторону A′B′, значит, A′B′ и B′C′ — разного цвета. При смене цветов на противоположные они останутся разного цвета, так что AB и BC — разного цвета, и отрезок AC не запрещён.
Итак, по указанной стратегии Вася может всегда сделать ход, поэтому он не проиграет. А так как доска конечна и игра закончится, Вася выиграет.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.