Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Дистанционный этап

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

$ABCD$ төртбұрышының

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ және

$DA$ қабырғаларынан сәйкесінше

$K$ ,

$L$ ,

$M$ ,

$N$ нүктелері алынған.

$AK=AN$ ,

$BK=BL$ ,

$CL=CM$ ,

$DM=DN$ және

$KLMN$ — тіктөртбұрыш екені белгілі болса,

$ABCD$ — ромб екенін дәлелдеңдер.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Треугольники $ANK$ , $BKL$ , $CLM$ и $DMN$ — равнобедренные по условию. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны. Пусть $\angle AKN = \angle ANK =\alpha$ , $\angle BKL = \angle BLK = \beta$ .

Так как угол

$NKL$ прямой,

$\alpha+\beta = 90^\circ$ . Но

$\angle KLB+ \angle MLC = 90^\circ$ , значит

$\angle MLC = \angle LMC = \alpha$ . Аналогично рассуждая, получаем

$\angle NMD = \angle MND = \beta$ . Поскольку

$NK = LM$ как противоположные стороны прямоугольника, треугольники

$AKN$ и

$CLM$ равны по стороне и двум углам. Аналогично равны треугольники

$BKL$ и

$DMN$ . Тогда

$AK = AN = CL = CM$ ,

$BK = BL = DM = DN$ , откуда следует, что все стороны четырехугольника

$ABCD$ равны.