Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Қатар келген бірнеше натурал сандардың арифметикалық ортасы сол сандардың ең кішісінен 5 есе үлкен. Осы арифметикалық орта ең үлкен саннан не есе кіші?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. В 9/5 = 1,8 раза.
Решение. Пусть всего у нас $d$ чисел, и $n$ — наименьшее из них. Тогда их среднее арифметическое равно $(n+(n+1)+\dots+(n+d-1))/d = (nd+(1+2+\dots+d-1))/d = n+d(d-1)/2d = n+(d-1)/2$. С другой стороны, оно равно $5n$, откуда $d-1 = 8n$. Значит, наибольшее из чисел равно $n+8n = 9n$, что больше среднего арифметического в $9n/5n = 9/5$ раза.