Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Тор қағазда $1 \times 2011$ лентасы салынған. Лентаның бірінші шаршысында 1 саны жазылған, соңғысында 2 саны жазылған. Петя мен Вася кезектесіп бос шаршыларға 1 немесе 2 санын жазады. Петя бірінші жүреді және тек 1 санын жазады. Вася екінші жүреді және тек 2 санын жазады. Бос шаршы қалмаған кезде Петя бірдей сандар жазылған көрші шаршылар жұптарын санайды, ал Вася әр түрлі сандар жазылған көрші шаршылар жұптарын санайды. Кімде үлкен сан шығады, сол ұтады. Дұрыс ойында кім ұтады.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Вася.
Решение. Разобьем клетки полоски от второй до 2011-й на пары стоящих рядом («доминошки»). Кроме того, отметим клетку 2010. Стратегия Васи: 1) пока отмеченная клетка пуста, после каждого ходя Пети в клетку какой-либо доминошки ходить в другую клетку той же доминошки; 2) если Петя сделал ход в отмеченную клетку, а игра еще не завершена, сделать ход в любую клетку любой пустой доминошки и отметить вторую клетку этой доминошки. Легко проверить, что при такой игре Васи после каждого его хода отмеченная клетка пуста, вторая клетка той же доминошки заполнена, а во всех остальных доминошках либо обе клетки пусты, либо обе клетки заполнены. Кроме того, по четности последний ход — за Петей, значит, Петя не сможет вынудить Васю сделать ход в отмеченную клетку. Поэтому Вася всегда сможет сделать нужный ход. Играя таким образом, Вася добьется, чтобы по окончании игры в каждой доминошке стояли две разные цифры, и победит, поскольку доминошек — 1005, а всего пар соседних клеток на ленте — 2010.