Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, IV тур дистанционного этапа

На клетчатой бумаге нарисована лента $1 \times 2011$, в первой клетке написано число 1, а в последней — число 2. Петя и Вася поочередно записывают в любую из свободных клеток числа 1 и 2. Петя ходит первым и пишет только единицы, а Вася — только двойки. Когда свободные клетки заканчиваются, Петя подсчитывает количество пар соседних клеток, в которых записаны одинаковые числа, а Вася — в которых разные. Если Петино число больше, то он выигрывает, в противном случае выигрывает Вася. Кто победит при правильной игре?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Вася.
Решение. Разобьем клетки полоски от второй до 2011-й на пары стоящих рядом («доминошки»). Кроме того, отметим клетку 2010. Стратегия Васи: 1) пока отмеченная клетка пуста, после каждого ходя Пети в клетку какой-либо доминошки ходить в другую клетку той же доминошки; 2) если Петя сделал ход в отмеченную клетку, а игра еще не завершена, сделать ход в любую клетку любой пустой доминошки и отметить вторую клетку этой доминошки. Легко проверить, что при такой игре Васи после каждого его хода отмеченная клетка пуста, вторая клетка той же доминошки заполнена, а во всех остальных доминошках либо обе клетки пусты, либо обе клетки заполнены. Кроме того, по четности последний ход — за Петей, значит, Петя не сможет вынудить Васю сделать ход в отмеченную клетку. Поэтому Вася всегда сможет сделать нужный ход. Играя таким образом, Вася добьется, чтобы по окончании игры в каждой доминошке стояли две разные цифры, и победит, поскольку доминошек — 1005, а всего пар соседних клеток на ленте — 2010.