Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

«Мүйіз бен тұяқ» фирмасы әр түрлі жұмыскерлер саны бар «Мүйіз» және «Тұяқ» фирмаларына бөлініп кетті. Екі фирманың директорлары да бірдей жалақы алады, ал сол екі фирманың да қалған жұмыскерлерінің орташа жалақлары бірдей. Сонымен қатар екі фирманың да барлық жұмыскерлерінің орташа жалақлары да бірдей. Қайсысы үлкен: директордың жалақысы ма, әлде қалған жұмыскерлердің орташа жалақысы ма?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Зарплата директора фирмы равна средней зарплате всех остальных сотрудников.
Решение. Пусть в фирме «Рога» $m$ сотрудников, в фирме «Копыта» — $n$ сотрудников, зарплаты директоров составляют по $x$ рублей, а средние зарплаты остальных сотрудников составляют по $y$ рублей. Тогда суммарная зарплата всех сотрудников фирмы «Рога» составляет $y(m-1)+x$ рублей, а суммарная зарплата всех сотрудников фирмы «Копыта» составляет $x(n-1)+y$ рублей. Приравнивая средние зарплаты всех сотрудников, получаем $$\frac{{y\left( {m - 1} \right) + x}}{m} = \frac{{y\left( {n - 1} \right) + x}}{n} (*).$$ После преобразований приходим к равенству $n(x-y) = m(x-y) (**)$. По условию $n \ne m$, значит $x=y$.