Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Фирма «Рога и копыта» разделилась на фирму «Рога» и фирму «Копыта» с разным числом сотрудников. Директор фирмы «Рога» получает такую же зарплату, как директор фирмы «Копыта», и средняя зарплата всех остальных сотрудников фирмы «Рога» совпадает со средней зарплатой всех остальных сотрудников фирмы «Копыта». Кроме того, средняя зарплата всех сотрудников фирмы «Рога» совпадает со средней зарплатой всех сотрудников фирмы «Копыта». Что больше: зарплата директора фирмы или средняя зарплата всех остальных сотрудников?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Зарплата директора фирмы равна средней зарплате всех остальных сотрудников.
Решение. Пусть в фирме «Рога» $m$ сотрудников, в фирме «Копыта» — $n$ сотрудников, зарплаты директоров составляют по $x$ рублей, а средние зарплаты остальных сотрудников составляют по $y$ рублей. Тогда суммарная зарплата всех сотрудников фирмы «Рога» составляет $y(m-1)+x$ рублей, а суммарная зарплата всех сотрудников фирмы «Копыта» составляет $x(n-1)+y$ рублей. Приравнивая средние зарплаты всех сотрудников, получаем $$\frac{{y\left( {m - 1} \right) + x}}{m} = \frac{{y\left( {n - 1} \right) + x}}{n} (*).$$ После преобразований приходим к равенству $n(x-y) = m(x-y) (**)$. По условию $n \ne m$, значит $x=y$.