Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$ABC$ үшбұрышында $BL$ биссектрисасы жүргізілген, ал оның $L$ нүктесінен ары қарай созындысында $LK=AB$ болатындай $K$ нүктесі алынған. Егер $AK \parallel BC$ болса, $AB > BC$ екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Пусть угол $ABC$ равен $2x$. Тогда каждый из углов $ABL$, $CBL$ и $AKB$ равен $x$ (последний — как внутренний накрест лежащий с $CBL$ при пересечении параллельных прямых $AK$ и $BC$ с $BK$). Следовательно, треугольник $BAK$ — равнобедренный, откуда $AK = AB$. Так как по условию $LK = AB$, треугольник $AKL$ —равнобедренный, откуда получаем, что углы $KAL$, $KLA$ и $BLC$ равны $90^\circ-x/2$. Осталось заметить, что угол $BAC$ равен (из треугольника $BAK$) $180^\circ-2x-(90^\circ-x/2)$, а угол $BCA$ равен (из треугольника $BCL$) $180^\circ-x-(90^\circ-x/2$). Таким образом, угол $BCA$ больше угла $BAC$, откуда $AB > BC$.