Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

Аралда 1000 ауыл және әрқайсысында 99 тұрғын бар. Аралдын әр тұрғыны әрқашан да шындықты айтатын сері, немесе әрқашан да өтірік айтатын өтірікші. Сонымен қатар аралда дәл 54054 сері бар екені белгілі. Күндердің бірінде тұрғындардың әрқайсысына: «Сіздердің ауылдарыңызда кімдер көп: серілер ма әлде өтірікшілер ма?» деген сұрақ қойылды. Осы сұраққа әр ауылдан 66 адам: «ауылда серілер көп» деп, ал әр ауылдан қалған 33 адам: «өтірікшілер саны көп» деп жауап берді. Аралда серілер саны өтірікшілер санынан көп болатын неше ауыл бар?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 638.
Решение. Поровну рыцарей и лжецов ни в одной деревне быть не может, потому что тогда все ее жители солгали бы. Если в деревне больше рыцарей, то, очевидно, правду сказали 66 человек и 33 человека солгали, а если больше лжецов — то наоборот. Пусть на острове $n$ деревень, где больше рыцарей. Тогда из условия следует, что $66n+33(1000-n) = 54054$. Решая это уравнение, получаем ответ.