Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Үшбұрыштың әр қабырғасы 2008 тең бөлікке бөлінген. Қабырғадағы әр бөлген нүктеден қалған екі қабырғаға параллель түзу жүргізілген. Сонда үшбұрыш тең үшбұрыштар алаңына бөлінген. Екі көрші параллель түзудің арасындағы алаңды және үшбұрыш төбесіндегі жалғыз үшбұрыш алаңды жол деп атайық. Петя мен Вася кезектесіп бос алаңға $1$ немесе $-1$ санын қояды. Барлық алаң толғаннан кейін әр жолдағы сандар көбейтіндісі есептелінеді. Егер теріс көбейтінділер саны жұп болса, онда Петя ұтады. Кері жағдайда Вася ұтады. Ойынды Петя бастаса, дұрыс ойында кім ұтады?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Выиграет Вася.
Решение. Заметим, что в треугольнике четное число полей и, значит, последним ходит Вася. Своим последним ходом он всегда может сделать так, чтобы произведение всех записанных чисел было равно $-1$. Покажем, что этого достаточно для его победы. Перемножим все числа, стоящие в строках, параллельных одной из сторон треугольника. Полученное произведение равно произведению всех чисел в треугольнике и равно $-1$, следовательно, строк с отрицательными произведениями, среди рассмотренных, нечетное число. Рассматривая аналогично строки, параллельные другим двум сторонам, получаем, что всего с отрицательными произведениями нечетное количество строк. Значит, Вася выигрывает.