Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры


50×50 тақтаның әр шаршысында бір саннан жазылып тұр. Әр сан, оған қабырға бойынша көрші шаршыдағы сандар қосындысынан 3 есе кіші және оған диагональ бойынша көрші сандар қосындысыан 2 есе кіші. Қызыл шаршыдағы сандар қосындысы көк түстегі сандар қосындысына тең болатындай тақтаның шаршыларын қызыл және көк түске бояп шығуға болатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Покажем, что подойдёт раскраска клеток доски в шахматном порядке. Заметим, что сумма данного числа и его соседей по диагоналям равна сумме соседей этого числа по сторонам: обе суммы втрое больше данного числа. Поэтому в квадрате 2×2, находящемся в углу доски, суммы чисел в красных и синих клетках совпадают: обе они втрое больше числа, стоящего в угловой клетке доски. Также совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого прямоугольника 3×2, примыкающего длинной стороной к краю доски: обе они втрое больше числа, стоящего в средней клетке стороны, примыкающей к краю доски. Наконец, совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого квадрата 3×3: обе они втрое больше числа, стоящего в центре квадрата. Разобьём доску 50×50 на квадрат 48×48, квадрат 2×2 и два прямоугольника 2×48, как показано на рис. 5. Квадрат 48×48 разобьём на квадраты 3×3, а прямоугольники 2×48 — на прямоугольники 3×2, примыкающие длинной стороной к краю доски. В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны. Значит, они равны и на всей доске.