Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур дистанционного этапа

Можно ли пронумеровать грани куба числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, чтобы номер каждой грани был делителем суммы номеров соседних граней? Если да — как, если нет — почему?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Допустим, нам удалось пронумеровать грани куба с соблюдением условия задачи. Рассмотрим грань номер 6. Сумма номеров четырёх соседних с ней граней должна делиться на 6. Эта сумма не меньше, чем $1+2+3+4 = 10$ и не больше, чем $2+3+4+5 = 14$, то есть она должна быть равна 12. Поскольку $1+2+3+4+5 = 15$, для получения суммы 12 на грани, противоположной шестёрке, должна быть тройка.
Теперь рассмотрим грань номер 5. Как мы уже показали, два её соседа — это 6 и 3. Сумма двух других её соседей не меньше $1+2 =2$ и не больше $2+4 = 6$, то есть сумма всех соседей пятёрки не меньше 12 и не больше 15. Поскольку она должна делиться на 5, то она равна 15, то есть на гранях, соседних с пятёркой, стоят 2, 3, 4 и 6. Следовательно, напротив пятёрки стоит единица. Но тогда в соседях у двойки — 1, 3, 5 и 6, а их сумма нечётна. Противоречие.