Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып
Өлшемі (2m+1)×(2n+1) болатын тақтаның әрбір бірлік шаршысы екі түске — ақ және қара — боялған. Егер жолдағы (бағандағы) бірлік шаршылардың саны сол жолдың (бағанның) бірлік шаршысымен бір түстес болса, онда осы бірлік шаршыны жол (баған) бойынша басым дейміз. Ең кем дегенде тақтаның m+n+1 бірлік шаршысы бір мезгілде өзінің жолы және бағаны бойынша басым болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
В русском варианте написано m+n−1, но должно быть m+n+1.
Решение: Пусть A − количество клеток доски которые одновременно доминируют по строке и по столбцу,
B − количество клеток доски которые доминируют только по строке,
C − количество клеток доски которые доминируют только по столбцу.
Заметим, что A+B+C≤(2m+1)(2n+1).
Из того, что (A+B) − это количество клеток которые доминируют хотя бы по строке, то A+B≥(n+1)(2m+1), поскольку в каждой строке (их 2m+1) хотя бы (n+1) клеток доминируют по ней. Аналогично A+C≥(m+1)(2n+1). Тогда получаем, что
(n+1)(2m+1)+(m+1)(2n+1)≤(A+B)+(A+C)=A+(A+B+C)≤A+(2m+1)(2n+1)
⟹A≥(n+1)(2m+1)+(m+1)(2n+1)−(2m+1)(2n+1)=m+n+1.◼
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.