Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып


Өлшемі (2m+1)×(2n+1) болатын тақтаның әрбір бірлік шаршысы екі түске — ақ және қара — боялған. Егер жолдағы (бағандағы) бірлік шаршылардың саны сол жолдың (бағанның) бірлік шаршысымен бір түстес болса, онда осы бірлік шаршыны жол (баған) бойынша басым дейміз. Ең кем дегенде тақтаның m+n+1 бірлік шаршысы бір мезгілде өзінің жолы және бағаны бойынша басым болатынын дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 10 месяца назад #

В русском варианте написано m+n1, но должно быть m+n+1.

Решение: Пусть A количество клеток доски которые одновременно доминируют по строке и по столбцу,

B количество клеток доски которые доминируют только по строке,

C количество клеток доски которые доминируют только по столбцу.

Заметим, что A+B+C(2m+1)(2n+1).

Из того, что (A+B) это количество клеток которые доминируют хотя бы по строке, то A+B(n+1)(2m+1), поскольку в каждой строке (их 2m+1) хотя бы (n+1) клеток доминируют по ней. Аналогично A+C(m+1)(2n+1). Тогда получаем, что

(n+1)(2m+1)+(m+1)(2n+1)(A+B)+(A+C)=A+(A+B+C)A+(2m+1)(2n+1)

A(n+1)(2m+1)+(m+1)(2n+1)(2m+1)(2n+1)=m+n+1.