Республиканская олимпиада по математике, 2020 год, 9 класс

Есеп №1. Бөлмеде $n$ шам және $k$ сөндіргіш бар. Басында әр шам немесе жанып, немесе сөндіріліп тұр. Әр шам сым арқылы дәл 2020 сөндіргішпен қосылған. Сөндіргішті басқан кезде, сол сөндіргішпен қосылған шам өз қалпын қарама-қарсы қалыпқа өзгертеді. Сөндіргіштерді қандай-да бір ретпен баса отырып, барлық шамдарды жанған қалыпқа келтіруге болатыны белгілі. Осы нәтижеге сөндіргіштерді $[k/2]$ санынан аспайтын басу арқылы жетуге болатынын дәлелдеңіз. Бұл жерде $[x]$ саны — нақты $x$ санының бүтін бөлігі, яғни $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан. ( Зиманов Т. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ нақты сандары үшін, және кез келген $1 \le i < j < k \le n$ сандары үшін $x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ теңсіздіктері орындалады. $n$ санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Жай $p$ саны мен натурал $k$ және $r$ сандары берілген, әрі $r < p$. $p^p + 1$ саны $pk + r$ санына бөлінетіні белгілі болса, $k$ санының $r$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB, BC, CA$ қабырғаларын сәйкесінше $C_0, A_0, B_0$ нүктелерінде жанайды. $M$ нүктесі — $C_0$ нүктесін $A_0B_0C_0$ үшбұрышының биіктіктер қиылысу нүктесімен қосатын кесіндінің ортасы, ал $N$ нүктесі — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $ACB$ доғасының ортасы. $MN$ түзуінің $ABC$-ға іштей сызылған шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(6)

---