Ануарбеков Т.


Задача №1.  Докажите, что существуют бесконечно много составных натуральных чисел $n$, для которых число ${{2}^{\frac{n-1}{2}}}+1$ делится на $n$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №2.  Пусть $p=9k+1$ — простое число, где число $k$ — натуральное. Докажите, что существует целое число $n$ такое, что ${{n}^{3}}-3n+1$ делится на $p$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Натуральное число $a$ и простое $p$ таковы, что НОД$(a,p!)=1$. Докажите, что ${{a}^{(p-1)!}}-1$ делится на $p!$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4.  Существуют ли простые числа $p$, $q$ и $r$ такие, что число $\dfrac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$ целое? ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5.  Найдите все натуральные $n$, $k$, $a_1, a_2,\ldots, a_k$ такие, что $n^{k+1}+1$ делится на $(na_1+1)(na_2+1)\ldots(na_k+1)$. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение олимпиада