қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрін $O$ деп белгілейік. Үшбұрыштың $A$ төбесінен $CO$ түзуіне түсірілген биіктіктің табанын $K$ деп белгілейік. $K$ нүктесінен $BC$ түзуіне түсірілген биіктік $AB$ түзуін $N$ нүктесінде қиып өтсін, онда $CN$ және $AB$ түзулері перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Сол жақ үстіңгі торы қара түсте болатын шахмат түрінде боялған $n\times n$ шаршысы берілген. Шаршымен келесі операцияны орындауға болады: дәл үш торы ақ болатын $3\times 2$ немесе $2\times 3$ тіктөртбұрышты таңдап алып, оларды қара түске бояуға болады. $n$ натурал санның қандай мәнінде осы операцияның көмегімен бүкіл торларды қара түске бояп шығуға болады?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. ${{x}^{2}}+2x$ және ${{x}^{3}}-6x$ сандары рационал болатындай бүкіл иррационал $x$ санын табыңыз.
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №4. $[n\sqrt{2}]=\left[ \dfrac{3}{2}n \right]$ теңдігі орындалатындай барлық натурал $n$ санын табыңыз.
(Мұндағы $[x]$ — санның бүтін бөлігі, яғни нақты $x$ саннан аспайтын ең үлкен бүтін сан).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына $(AB < BC)$ іштей сызылған шеңбердің центрі $I$ деп белгіленсін. $AC$ қабырғасының ортасын $M$ деп белгілейік. $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің $B$ төбесі жататын $AC$ доғасының ортасын $N$ деп белгілесек, онда $\angle IMA=\angle INB$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Мектепте 2009 ұлдар және 2009 қыздар оқиды. Әрбір оқушының баратын үйірмелер саны 100-ден аспайды. Кез-келген ұл әрбір қызбен кем дегенде бір үйірмеге барады. Кем дегенде 11 қыз және кем дегенде 11 ұл қатысатын үйірме барын дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение