Областная олимпиада по математике, 2009 год, 9 класс

Определите все натуральные числа $n$, для которых выполнено равенство $ [n\sqrt 2 ] = \left[ {\dfrac{3n}{2}} \right]$. (Здесь $[x]$ — целая часть числа, то есть наибольшее целое число, не превосходящее действительного числа $x$)

Комментарий/решение

$Ответ: 5 ,3 ,1.$

Так как $[x]=x-\{x\}$, и $\{1,5n\}$ равно 0 (когда $n$ чётна) или 0,5 (когда $n$ нечётна), тогда уравнение можно привести к виду $\{1,5n\}-\{\sqrt{2}n\}=(1,5-\sqrt{2})n$. Если $n\geq7$ $$(1,5-\sqrt{2})n>0,08n\geq0,56>\{1,5n\}>\{1,5n\}-\{\sqrt{2}n\}$$. Тогда $n<7$. Если подставить от 1 до 6 , подходит только 5,3,1.