Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс


Задача №1.  Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ. Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются». Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись». Сколько троллей сидит за столом?
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Пусть $M$ — произвольная точка на меньшей из двух дуг $CD$ описанной около квадрата $ABCD$ окружности. Прямая $AM$ пересекает $BD$ и $CD$ в точках $P$ и $R$, соответственно. Прямая $BM$ пересекает отрезки $AC$ и $DC$ в точках $Q$ и $S$, соответственно. Докажите, что прямые $PS$ и $QR$ перпендикулярны.
комментарий/решение
Задача №3.  Вещественная функция определена на [0,1] и удовлетворяет условию $f(1/n)=(-1)^n$ для любого натурального $n$. Докажите, что $f$ нельзя представить в виде разности возрастающих функций.
комментарий/решение
Задача №4. Пусть $n$ — натуральное число, $p$ — простое, причем $(n+1)^p-n^p$ делится на некоторое натуральное число $q$. Докажите, что $(q-1)$ делится на $p$.
комментарий/решение
Задача №5.  $*$ — операция, заданная на ненулевых действительных числах, удовлетворяющая условиям:
1) $a * a = 1$ для любого $a \neq 0$;
2)$a * (b* c) = (a * b) c$ ($a * b$ справа обычно умножается на $c~$) для любых $a\neq 0$, $b\neq 0$, $c\neq 0$.
Решите уравнение $x*36 = 216$.
комментарий/решение
Задача №6.  Дан треугольник $ABC$. Пусть $r$ — радиус вписанной в него окружности; $r_a$ — радиус полуокружности с центром на стороне $BC$, касающейся сторон $AB$ и $AC$. Аналогично определяются $r_b$ и $r_c$. Докажите справедливость равенства $2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$.
комментарий/решение
Задача №7.  Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так: сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами, которые имеют общие делители > 1 с 400. Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое, то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель >1 с 399. Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее. Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5, $\dots$, 400, 3, 7, 9, $\dots$, 399, $\dots$. Какая страница будет прочитана последней?
комментарий/решение(1)
Задача №8.  $0 < a_1 < \dots < a_n$ — заданные числа. Решение неравенства $$ \frac{{a_1 }} {{x + a_1 }} + \frac{{a_2 }} {{x + a_2 }} + \dots + \frac{{a_n }} {{x + a_n }} \geq 1 $$ составляет объединение нескольких непересекающихся промежутков. Найдите сумму их длин.
комментарий/решение